가우시안 정규 분포를 따르는 확률 변수 $X$ 의 $n$개의 샘플 $x_1, \cdots, x_n$의 합(또는 평균)은 student-t 분포를 따른다.
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만약 이 샘플들을 단순히 더하는 것이 아니라 제곱을 하여 더하면 양수값만을 가지는 분포가 된다. 이 분포를 카이 제곱(chi-squared) 분포라고 하며 $\chi^2(x;\nu)$ 와 같이 표기한다. 카이 제곱 분포도 student-t 분포처럼 자유도(degree of freedom) 모수를 가진다.
$$ x_i \sim \mathcal{N} $$$$ \downarrow $$$$ \sum_{i=1}^n x_i^2 \sim \chi^2(n) $$카이 제곱 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.
$$ f(x) = \frac{x^{(\nu/2-1)} e^{-x/2}}{2^{\nu/2} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} $$SciPy 의 stats 서브 패키지의 chi2 클래스를 사용하여 확률 밀도 함수의 모양을 살펴보면 다음과 같다.
In [9]:
xx = np.linspace(0.01, 10, 100)
for df in [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9]:
rv = sp.stats.chi2(df=df)
plt.plot(xx, rv.pdf(xx), label=("chi2 (dof = %d)" % df))
plt.xlim(0, 10.1)
plt.ylim(0, 0.6)
plt.legend()
plt.show()